Finite Element Method ( Notes)

Finite Element Method (FEM)

Finite Element Method (FEM) ဆိုတာ ကၽႊန္ေတာ္တုိ႔ analysis လုပ္မယ့္ structure model တစ္ခုရဲ႕ ရွာခ်င္တဲ့/သိခ်င္တဲ့တန္ဖိုး (ဥပမာ − temperature, stress, displacement, etc.) ေတြကို အနီးစပ္ဆံုးတိက်မႈရေအာင္ mathematical matrix model တစ္ခုတည္ေဆာက္ၿပီးရွာေဖြ တြက္ခ်က္ျခင္းျဖစ္ပါတယ္။ ယခုကၽႊန္ေတာ္ structure တစ္ခုရဲ႕ stress analysis ကို FEM သံုးၿပီးျပဳလုပ္သြားပံု၊ တနည္းဆိုရရင္ mathematical matrix model တည္ေဆာက္ပံုကို အဆင့္မ်ားျဖင့္အၾကမ္းဖ်င္းတင္ျပသြားပါမယ္။

(၁) Discrete and Select element configuration
ပထမအဆင့္မွာေတာ့ ကၽႊန္ေတာ္တို႔ analysis လုပ္မယ့္ structure model တစ္ခုလံုးကို သင့္ေတာ္ေသာအရြယ္အစားရွိတဲ့ elements ကေလးမ်ားျဖစ္ေအာင္ စိတ္ပိုင္းပါမယ္။ meshing လုပ္တယ္လို႔ေျပာၾကပါတယ္။ structural analysis type ေပၚမႈတည္ၿပီး စိတ္ပိုင္းထားတဲ့ elements ကေလးမ်ားကိုအမ်ိဳးအစား (element type) သတ္မွတ္ေပးရပါမယ္။ element types ေတြကေတာ့ link/beam/plane/solid/shell elements စသည္ျဖင့္အမ်ိဳးမ်ိဳးရွိၾကပါတယ္။ element တိုင္းမွာ nodes မ်ားရွိပါမယ္။ ဥပမာ link and beam element မွာဆိုရင္ 2 nodes, plane element ဆိုရင္ 3/4/5/6/8 nodes စသည္ျဖင့္ အသီးသီးရွိၾကပါတယ္။ ၎ nodes အသီးသီးမွာလည္း structural analysis type (1D/2D/3D) ေပၚမႈတည္ၿပီး Degree of freedom (DOF) (i.e. X,Y,Z displacements and X,Y,Z rotations) မ်ားရွိပါမယ္။
ဒီေနရာမွာ သင့္ေတာ္ေသာအရြယ္အစားရွိတဲ့ elements ကေလးမ်ား လို႔ဆိုရတာကေတာ့ FEM နဲ႔ရင္းႏွွီးၿပီးသားသူမ်ားအတြက္ အလြယ္တကူနားလည္ႏိုင္ေပမယ့္၊ အစကနဦးသူမ်ား အတြက္ေတာ့ နားလည္ရခက္ပါလိမ့္မယ္။ ဆိုလိုတာက structure ရဲ႕မိမိစိတ္၀င္စားတဲ့ေနရာ၊ stress concentration မ်ားတဲ့ေနရာ၊ stress gradient မ်ားတဲ့ေနရာ စသည့္ေနရာေတြမွာေတာ့ elements မ်ားကို ေသးငယ္ေသာအရြယ္စားမ်ားအျဖစ္ပိုင္းရန္လိုအပ္တာပါ။ မလိုအပ္ပဲ ေသးလြန္းလွ်င္လည္း calculation time ၾကာပါလိမ့္မယ္။
(၂) Select Approximation models or Functions
Element တစ္ခုဟာ ၎အေပၚအျပင္မွသက္ေရာက္တဲ့ forces, pressures, temperature စသည့္အခ်က္ေတြေၾကာင့္ nodes အသီးသီးမွာ X,Y,Z displacement/rotation မ်ားျဖစ္ေပၚပါတယ္။ ဒီအဆင့္ကေတာ့ ၎ nodes အသီးသီးရဲ႕ X,Y,Z displacement/rotation (unknown values) အခ်င္းခ်င္းဆက္သြယ္ခ်က္ကို approximate function သံုးၿပီး formula ထုတ္ျခင္းျဖစ္ပါတယ္။ formula ပံုစံကေတာ့ {u}=[N]{d} matrix ပံုစံရွိပါတယ္။ [N] ကိုေတာ့ interpolation or approximation function လို႔ေခၚၿပီး၊ {d} ကေတာ့ unknown variables at node points မ်ားပါ၀င္တဲ့ unknown vector set တစ္ခုျဖစ္ပါတယ္။ stress analysis မွာေတာ့ nodal displacement/rotation ကို primary unknown variables အျဖစ္သံုးၾကပါတယ္။
ဒီေနရာမွာေျပာၾကတာကေတာ့ မိမိတည္ေဆာက္ထားတဲ့ mathematical matrix model ဟာတကယ့္ real structure နဲ႔တူ/မတူ ဆိုတာက function [N] ယူဆခ်က္ေပၚမူတည္ပါတယ္။ element types အသီးသီးအတြက္ သတ္မွတ္ထားေသာ [N] အသီးသီးရွိၾကတဲ့အတြက္ တနည္းဆိုရရင္ မိမိ mathematical matrix model ရဲ႕တိက်မႈက အသံုးျပဳထားတဲ့ element types ေပၚမူတည္တယ္လို႔လည္းေျပာလို႔ရတာေပါ့။

(၃) Define Strain (Gradient)-Displacement (Unknown) and Stress-Strain Relationships
ကၽႊန္ေတာ္တို႔သိၿပီးၾကတဲ့အတိုင္း elongation or shorten length (displacement) ကို original length နဲ႔ divided လုပ္ရင္ Strain ရပါမယ္။ ၎ Strain ကို modulus of elasticity ေျမွာက္ရင္ Stress ရပါတယ္။ elements တစ္ခုရဲ႕ Strain-Displacement Relationships အတြက္ဆိုရင္ {e}=[B]{d} ပံုစံျဖစ္ၿပီး၊ Stress-Strain အတြက္ဆိုရင္ေတာ့ {s}=[C]{e} ျဖစ္ပါမယ္။ ဒီမွာေတာ့ [B] က strain-displacement transformation matrix ျဖစ္ၿပီး၊ [C] ကေတာ့ stress-strain matrix ျဖစ္ပါတယ္။ ဒါေၾကာင့္ Stress-displacement ဆိုရင္ ယခုလိုေဖာ္ျပႏိုင္ပါတယ္ {s}=[C][B]{d} ။


(၄) Derive Element equation
FEM မွာ Element equation ကိုရွာတဲ့အခါမွာ အဓိကအားျဖင့္ methods ႏွစ္မ်ိဳးသံုးၿပီး ရွာပါတယ္။ ၎တို႔ကေတာ့ (၁) Energy method နဲ႕ (၂) Residual method တို႔ျဖစ္ၾကပါတယ္။ methods တစ္မ်ိဳးမ်ိဳးမွာ အေပၚအဆင့္မ်ားမွရရွိလာေသာ Relationship equations ကိုထည့္ၿပီး တြက္လိုက္ပါက ေနာက္ဆံုးရရွိလာေသာ Element equation ပံုစံမွာ [k]{d}={q} ျဖစ္ပါတယ္။ [k] ကေတာ့ stiffness matrix ျဖစ္ၿပီး၊ {q} ကေတာ့ nodal force vector matrix ျဖစ္ပါတယ္။
Element တစ္ခုရဲ႕ configurations ႏွင့္ material properties သိမယ္ဆိုရင္ ၎ element ရဲ႕ stiffness matrix [k] ကိုရွာႏိုင္ပါတယ္။ nodal force vector matrix {q} မွာေတာ့ element nodes ေပၚသက္ေရာက္ေနတဲ့ reaction forces or applied forces ေတြပါ၀င္ပါတယ္။

(၅) Assemble Element equations to obtain Global and Introduce Boundary conditions
ကၽႊန္ေတာ္တို႔ အထက္ကေဖာ္ျပခဲ့တဲ့ Element equation [k]{d}={q} ရရွိေအာင္ ရွာေဖြပံုအဆင့္ေတြဟာ element တစ္ခုအတြက္သာျဖစ္ပါတယ္။ structure မွာပါတဲ့ elements ေတြအားလံုးအတြက္ဆိုရင္ elements အသီးသီးရဲ႕ Element equations ေတြကို Assembly ျပဳလုပ္ရပါမယ္။ အဲဒါကို structure တစ္ခုလံုးရဲ႕ Global Element Equation ရေအာင္ျပဳလုပ္တယ္လို႔ ေခၚပါတယ္။ အဲဒီ Global Element Equation ထဲကို structure ရဲ႕ Boundary conditions ေတြထည့္လိုက္ရင္ ကၽႊန္ေတာ္တို႔လိုခ်င္တဲ့၊ တနည္း real structure ကိုကိုယ္စားျပဳေနတဲ့ mathematical matrix model ရပါၿပီ။
Global Element Equation or mathematical matrix model ရဲ႕ပံုစံကလည္း [K]{D}={Q} ပါပဲ။ stiffness matrix [K] မွာေတာ့ elements အသီးသီးရဲ႕ stiffness matrix [k] ေလးေတြပါပါမယ္။ matrix [K] properties ကေတာ့ structure မွာရွိတဲ့ nodes စုစုေပါင္းအေရတြက္နဲ႕၊ node တစ္ခုမွာရွိတဲ့ degree of freedom အေရတြက္ေျမွာက္ထားျခင္း ျဖစ္ပါတယ္။ ဥပမာ ကၽႊန္ေတာ္တို႔ရဲ႕ structure တစ္ခုလံုးမွာ nodes စုစုေပါင္း ၅ ခုရွိတယ္ဆိုပါစို႔။ node တစ္ခုစီမွာ degree of freedom ၃ ခုရွိမယ္ဆိုရင္ Global stiffness matrix [K] ရဲ႕ properties က ၁၅x၁၅ ရွိပါမယ္။ Structure Boundary conditions ကို unknown vector matrix ျဖစ္တဲ့ {D} မွာထည့္သြင္းပါတယ္။ {Q} မွာေတာ့ structure ေပၚသက္ေရာက္ေနတဲ့ applied forces နဲ႔ reaction forces ေတြပါ၀င္ပါမယ္။

(၆) Solve for the Primary Unknown
ကၽႊန္ေတာ္အဆင့္(၂) မွာေျပာခဲ့တဲ့အတိုင္း stress analysis မွာေတာ့ displacement/rotation ေတြကို primary unknown variables ေတြအျဖစ္သတ္မွတ္ၾကပါတယ္။ ဒီအဆင့္မွာေတာ့ mathematical matrix model [K]{D}={Q} ကိုသံုးၿပီး ၎ unknown variables ေတြကိုရွာတာပါ။ ၁၅ unknown variables ရွိရင္ matrix model မွာ equations ၁၅ ေၾကာင္းရွိ ပါလိမ့္မယ္။

(၇) Solves for Derived or Secondary Quantities
ကၽႊန္ေတာ္တို႔ရဲ႕ structural stress analysis မွာ stress values မ်ားဟာ Secondary quantities ျဖစ္ပါမယ္။ unknown variables (displacement/rotation) ေတြရၿပီဆိုရင္ေတာ့ အဆင့္ (၃) မွာျပဳလုပ္ခဲ့တဲ့ Strain-Displacement Relationships နဲ႔ Stress-Strain Relationships ေတြကိုသံုးၿပီး လိုခ်င္တဲ့ elements stress/strain ေတြကိုရွာႏိုင္ပါၿပီ။

(၈) Interpretation of Results
ေနာက္ဆံုးဒီအဆင့္ကေတာ့ ရရွိၿပီးၿပီျဖစ္တဲ့ elements ေတြရဲ႕ displacements /stress/strain ေတြကို Tables/Graphs/Pictures စတာေတြနဲ႔ နားလည္မႈလြယ္ကူေအာင္ တင္ျပျခင္းျဖစ္ပါတယ္။

နိဂုံးခ်ဳပ္အေနျဖင့္ တင္ျပရလွ်င္ FEM method ကိုသံုးျခင္းအားျဖင့္ ကၽႊန္ေတာ္တို႔ analysis လုပ္မယ့္ structure တစ္ခုရဲ႕ႀကိဳက္တဲ့ေနရာမွာရွိတဲ့ stress/strain/displacement ေတြကိုအနီးစပ္ဆံုးရွာလို႔ရပါတယ္။ structure မွာ composite material ေတြကိုလည္း အသံုးျပဳႏိုင္ပါတယ္။ element types အေရြးမွန္ရပါမယ္။ element size မ်ားကိုေနရာေပၚမူတည္ၿပီး adjustment လုပ္ေပးရပါမယ္။ applied point loads နဲ႔ boundary conditions ေပးမယ့္ေနရာေတြမွာေတာ့ nodes ေတြသတ္မွတ္ေပးဖို႔လိုပါမယ္။ သက္ေရာက္ေနေသာ applied loads ေတြဟာ nodes ေတြကတဆင့္ elements အသီးသီးဆီကိုအဆင့္ဆင့္ ကူးယူသြားပါတယ္။
FEM methods သံုးၿပီး structural analysis ကို hand calculation ျဖင့္ျပဳလုပ္ရန္မလြယ္တဲ့အတြက္ FEM methods သံုး analysis software မ်ားကိုအသံုးျပဳေနၾကပါၿပီ။ ဥပမာ ANSYS လို analysis software ေပါ့။ software မ်ားသည္လည္း program ျဖင့္တည္ေဆာက္ထားျခင္းျဖစ္တဲ့အတြက္ ခိုင္းတာပဲလုပ္တတ္တာပါ။ သူတို႔ကေတာ့ input data ေပၚမူတည္ၿပီး output results မ်ားထုတ္ေပးရုံပါပဲ။ input မွားရင္ reasonable မျဖစ္တဲ့ output မ်ားရလာပါမယ္။ ဆိုလိုခ်င္တာက software အသံုးျပဳသူရဲ႕ ကၽႊမ္းက်င္မႈ၊ အေတြ႔အႀကံဳ႕ရင့္က်က္မႈ၊ basic theory နားလည္မႈ စတဲ့အရည္အခ်င္းေတြကေတာ့ အၿမဲမွန္ကန္ေနမယ့္လိုအပ္ခ်က္မ်ားပါပဲ။
ကၽႊန္ေတာ့္အေနျဖင့္ FEM method အေပၚမိမိနားလည္သလိုတင္ျပထားတဲ့အတြက္ အားနည္းခ်က္မ်ား ရွိေကာင္းရွိႏိုင္ပါတယ္။ ကၽႊမ္းက်င္နားလည္ေသာသူမ်ားမွ အမွားမ်ားရွိခဲ့ရင္ ျပဳျပင္ေပးေစလိုပါေၾကာင္းတင္ျပရင္း နိဂံုးခ်ဳပ္ပါရေစ။
 Credit Soe Nyi
http://www.myanmarengineer.org/forums/archive/index.php/t-2123.html

Discussion
 ဂြၽန္မိုးအိမ္

Finite Element Method ၏ အက်ိဳးေက်းဇူးမ်ား
1) Irregular geometry ဒီဇိုင္းေတြအတြက္ သင့္ေတာ္ပါတယ္..
2) Boundary Type အမ်ိဳးမ်ိဳးကို ဒီဇိုင္း လုပ္ႏိုင္ပါတယ္
3) Material ေတြရဲ႕ Isotrophic နဲ႔ homogenious မျဖစ္မႈကို ခက္ခက္ခဲခဲ စဥ္းစားစရာ မလိုပါဖူး
4) Loading Type အမ်ိဳးမ်ိဳး ဒီဇို္င္းလုပ္ရတာ လြယ္ကူေစပါတယ္....

ၤFinite Element Method ရဲ႕ မေကာင္းတဲ့အခ်က္မ်ား
1) အျခား analysis ေတြလို prove ျပရခက္ခဲေစပါတယ္...
2) Calculation မွာ Manual မလုပ္ႏိုင္ပါဖူး...
3) Stiffiness ကို အေျခခံထားတဲ့အတြက္ Element ေတြရဲ႕ possible behavior ဟာ အျခား analysis ေတြနဲ႔ ကြာျခားသြားႏိုင္ပါတယ္
4) Stress Value ေတြဟာ ေျပာင္းလဲေနတတ္ပါတယ္
5) Element ေတြရဲ႕ Aspect Ratio ဟာ final result မွာ တစ္ခါတစ္ရံ ထူးျခားႏိုင္ပါတယ္...

ၤFEM ဟာ
Theory ေတြကို Derive လုပ္ထားတာ ျဖစ္ပါတယ္...
Actual problem ကို Approximate problem တစ္ခုအျဖစ္ Idealize လုပ္ထားျခင္း ျဖစ္ပါတယ္
Computer Program Development ဟာ ၄င္းကို သက္ေရာက္မႈ ရွိပါတယ္...
Data Information Processing ေတြနဲ႔ Numerical Method ေတြကို စဥ္းစားထားပါတယ္....

FEM ရဲ႕ Design Principle ေတြမွာ စဥ္းစားသင့္တာေတြကေတာ့
1) Equilibrium ျဖစ္ျခင္း...- ( Overall Equilibrium, Joint Equilibrium, Member Equilibrium ျဖစ္ျခင္း)
2) Compatibility ျဖစ္ျခင္း....- ( Structure တစ္ခုရဲ႕ member အားလံုးဟာ External Load ကို တစ္ခုနဲ႔ တစ္ခု
ဆက္စပ္လ်က္ cohesively act ျပန္လုပ္ႏိုင္ျခင္း)
3) Material Behavior Data မ်ား... - ( အဓိက အားျဖင့္ External Load ရဲ႕ force / Stress မ်ားေၾကာင့္ ျဖစ္လာမယ့္ Displacement / Strain မ်ား)
4) Boundary Condition.... မ်ား ျဖစ္ပါတယ္...


ဒါေတြကေတာ့ ကြၽန္ေတာ့္ အေနနဲ႔ ဒီတေလာ FEM ကို အခ်ိန္ရခိုက္ ဖတ္မိ ေလ့လာမိတာေလးေတြပါ...
ကိုယ့္အေနနဲ႔က Self-Learning လုပ္ရေတာ့ နားလည္မႈေတြ လြဲေကာင္း လြဲမွာပါ...
FEM အေၾကာင္း သိထားတဲ့ အစ္ကို အစ္မမ်ား... လမး္ညႊန္မႈမ်ား ေပးၾကဖို႔ ေမွ်ာ္လင့္ပါတယ္

ခင္မင္ေလးစားလ်က္
ဂြၽန္မိုးအိမ္