Moment of Inertia

Moment of Inertia
x x x x x x x x x x x

Applied force နဲ႔ Resisting Force ႏွစ္ခု ၾကားမွာ eccentricity ရွိေနခဲ႔ရင္ Moment ေပၚတယ္။ Moment ေၾကာင္႔ beam,column,wall စတဲ႔ structural member ေတြမွာ rotation ၿဖစ္တယ္။ အဲဒီ rotation ေၾကာင္႔ structural member ေတြမွာ deflection ၿဖစ္လာတယ္။ In-plane moment ကုိ bending moment လုိ႔ေခၚၿပီး Out-of-plane moment ကို Torsional/Twisting Moment လုိ႔ေခၚပါတယ္။

Inertia ဆုိတာက အရာဝတၳဳတစ္ခုရဲ႔ လက္ရွိအေနအထားကေန ေၿပာင္းလဲသြားမွဳ မၿဖစ္ေအာင္ ထိန္းထားႏုိင္တဲ႔ ဂုဏ္သတၱိကို ဆုိလုိတာပါ။ ၿငိမ္ေနတဲ႔အရာဝတၳဳတစ္ခု a body at rest ကို force တစ္ခုေပးၿခင္းအားၿဖင္႔ သူဟာ မူလရွိေနတဲ႔ေနရာကေန လည္က်လာမယ္ဆုိရင္ အဲဒါမ်ိဳး မၿဖစ္ေအာင္ ထိန္းထားတဲ႔ resistance to rotation ကို ေၿပာတာပါ။

တစ္နည္းအားၿဖင္႔ေၿပာရရင္ structural member တစ္ခုရဲ႔ bending,torsional stiffness ကိုို ၿပတဲ႔ factor တစ္ခုၿဖစ္ပါတယ္။
In-plane moment ေၾကာင္႔ၿဖစ္တဲ႔ rotation ကို ခုခံတဲ႔ factor ကို second moment of inertia or area moment of inertia လုိ႔ေခၚတယ္။ Out-of-plane moment ေၾကာင္႔ၿဖစ္တဲ႔ rotation ကို ခုခံတဲ႔ factor ကို polar moment of inertia လုိ႔ ေခၚတယ္။

နယူတန္ရဲ႔ ပထမဥပေဒသက
“ ၿပင္ပက သုညထက္ပိုတဲ႔ အသားတင္အားတစ္ခု မသက္ေ၇ာက္မခ်င္း ၿငိမ္ေနတဲ႔အရာဝတၳဳတစ္ခုဟာ ဆက္ၿပီး ၿငိမ္ေနမယ္၊ ေရြ႔လ်ားေနတဲ႔အ၇ာဝတၳဳတစ္ခုဟာ ဆက္ၿပီးေရြ႔လ်ားေနမယ္ “ လုိ႔ ဆုိပါတယ္။ တစ္နည္းအားၿဖင္႔ အရာဝတၳဳတစ္ခုရဲ႔ လက္ရွိေရာက္ေနတဲ႔ အေနအထား ( ၿငိမ္ေနၿခင္း၊ေရြ႔ေနၿခင္း) ကို ထိန္းထားလုိတဲ႔ သတၱိကိုပဲ Inertia လုိ႔ေခၚတာၿဖစ္ပါတယ္။
အဲဒီ ပထမ ဥပေဒသကို Law of Inertia လို႔ ေခၚၾကတယ္။

Moment of inertia လုိ႔ civil engineering မွာ ေခၚေဝၚအသံုးၿပဳတာက rotational dynamics ကေနစဥ္းစားလာတာၿဖစ္ပါတယ္။ Dynamics မွာ rotational နဲ႔ translational ဆုိၿပီး ၂ မ်ိဳးရွိတယ္။ Rotational က moment ေၾကာင္႔ ၿဖစ္တာၿဖစ္ၿပီး translational က force ေၾကာင္႔ ၿဖစ္တာ ၿဖစ္ပါတယ္။ သူတုိ႔ႏွစ္ခုအတြက္ စဥ္းစားရမယ္႔ parameters ေတြလဲ ကြဲၿပားသြားတယ္။ ပံုမွာ ၾကည္႔ၾကည္႔ပါ။

Moment of Inertia ေလးမ်ိဳးရွိတယ္။

(၁) Mass Moment of Inertia
(၂) First Moment of Inertia
(၃) Second Moment of Inertia or Area Moment of Inertia
(၄) Polar Moment of Inertia

(၁) Mass Moment of Inertia

အဲဒါကေတာ႔ civil engineering မွာ မသံုးဖူးထင္ပါတယ္။ ဒါေပမယ္႔ အဲဒါကို သိရင္ Second moment of inertia ကိုလဲ အလြယ္တကူနားလည္သေဘာေပါက္ႏိုင္လုိ႔ ဒါကစေၿပာပါမယ္။

အရာဝတၳဳတစ္ခုကို force တစ္ခုေပးၿပီး လည္ပတ္ေစတဲ႔အခါ လည္ပတ္တဲ႔ ဝန္ရိုး (တစ္နည္းအားၿဖင္႔ support/pivot point) ကိုမူတည္ၿပီး လည္ပတ္တဲ႔ ပမာဏဟာ ေၿပာင္းလဲ သြားတယ္။ ဥပမာအားၿဖင္႔ တုတ္တစ္ေခ်ာင္းကို အလည္မွာကိုင္ၿပီး လွည္႔လိုက္မယ္ဆုိရင္ သူဟာ လည္လာမယ္၊ ဒါေပမယ္႔ တုတ္တစ္ေခ်ာင္းကို အဖ်ားကကိုင္ၿပီး လွည္႔မယ္ဆုိရင္ အလယ္မွာကို္င္ၿပီးလွည္႔သလုိ လည္လာေစဖုိ႔က အားပိုစိုက္ရမယ္။ အဲဒါဟာ ဘာေၾကာင္႔လဲဆုိေတာ႔ distribution of mass from axis of rotation ေၾကာင္႔ ၿဖစ္ပါတယ္။

rotational axis ကေနၾကည္႔လုိ႔ mass ေတြက မ်ားလာေလေလ လည္ႏုိ္င္တဲ႔ ပမာဏ နည္းလာေလေလပါပဲ။ ဒီေတာ႔ Mass of Inertia I က m r^2 နဲ႔တူပါတယ္။ r ဆုိတာက rotational of axis ကေန ေထာင္႔မွန္က် အကြာအေဝးကို ဆိုလုိတာပါ။

ေနာက္ဥပမာတစ္ခုက solid ball တစ္ခုနဲ႔ အလယ္မွာ အသားမရွိတဲ႔ သံကြင္းတစ္ခု ကို လွိမ္႔ၾကည္႔ပါ။ mass ခ်င္းတူေပမယ္႔ solid ball က ၿမန္ၿမန္နဲ႔ ေဝးေဝးကိုေၿပးပါလိမ္႔မယ္။ အဲဒါဟာ ဘာေၾကာင္႔လဲဆုိေတာ႔ solid case မွာ ေဘာလံုးရဲ႔ဗဟိုဝန္ရိုးကေန အစြန္ကို equally distributed mass ေတြအၿဖစ္ရွိေနေပမယ္႔ သံကြင္းမွာေတာ႔ edge of ring မွာသြားစုေနလုိ႔ၿဖစ္ပါတယ္။ အဲဒီအတြက္ သံကြင္းရဲ႔ Moment of Inertia က MR^2 ၿဖစ္ပါတယ္။ Solid Ball အတြက္ကတာ႔ ½ MR^2 ၿဖစ္ပါတယ္။

ဒီေတာ႔ hollow section က solid section ထက္ moment of inertia ၂ ဆေတာင္ပိုရွိပါတယ္။ ဒါဆုိဘာေၾကာင္႔ steel structure မွာ hollow section ေတြ အသံုးမ်ားလဲဆုိတာ သိႏို္င္ပါၿပီ။ ဒါေပမယ္႔ တစ္ခုသတိထားရမွာက solid section နဲ႔  hollow section ႏွစ္ခုစလံုရဲ႔ mass ဟာ တူမွသာ ဒီလုိ အဓိပၸါယ္မ်ိဳးေကာက္ယူရမွာၿဖစ္ပါတယ္။

နမူနာတခ်ိဳ႔ကို ပံုမွာၿပထားပါတယ္။ axis of rotation ေၿပာင္းသြားရင္ၿဖစ္ေစ၊ mass distribution ေၿပာင္းသြားရင္ၿဖစ္ေစ I တန္ဖုိးဟာလဲ ေၿပာင္းသြားပါတယ္။

(၂) First Moment of Area

ဒါကေတာ႔ အားလံုးသိၿပီးသားပါ။ Force x perpendicular distance ၿဖစ္ပါတယ္။

(၃) Second Moment of Inertia

Mass moment of inertia နဲ႔ကြာသြားတာက သူက mass ကိုမစဥ္းစားပဲ geometrical area distribution ကိုစဥ္းစားတာၿဖစ္ပါတယ္။

ဥပမာအားၿဖင္႔ beam တစ္ခုဟာ 300 mm (width) x 800 mm (depth) ရွိတယ္ဆုိပါစုိ႔။
၈၀၀ မီလီမီတာကို ေဒါင္လုိက္ထားတာနဲ႔ ၃၀၀ မီလီမီတာကို ေဒါင္လုိက္ထားတာ ဘယ္ဟာက ပိုၿပီး deflection ၿဖစ္မလဲ။
၃၀၀ မီလီမီတာကို ေဒါင္လုိက္ထားတာက ပိုၿပီး deflection ၿဖစ္မွာေပါ႔။

ဘာေၾကာင္႔လဲဆုိေတာ႔ bending stiffness နည္းသြားလုိ႔ ၿဖစ္ပါတယ္။ bending stiffness က EI/L နဲ႔စဥ္းစားလုိက္ရင္ I မ်ားရင္ bending stiffness မ်ားမယ္။ I နည္းရင္ bending stiffness နည္းမယ္။ I က rectangular section ဆိုရင္ bd^3/12.

Ixx က 300 x 800 ^ 3 /12 ၈၀၀ မီလီမီတာကို ေဒါင္လုိက္ထားတဲ႔ေက႔စ္မွာ
Ixx က 800 x 300 ^ 3 / 12 ၃၀၀ မီလီမီတာကို ေဒါင္လုိက္တားထားတဲ႔ေက႔စ္မွာ

ဒါဆုိ ဘယ္လုိထားရင္ bending stiffness ပိုေကာင္းမလဲ ဆုိတာ သိပါၿပီ။
ဒါက Concrete beam ေတြအတြက္ ေၿပာတာပါ။

Steel Beam ေတြကေတာ႔ I,H section ေတြ သံုးပါတယ္။ ဘာေၾကာင႔္ rectangular မသံုးလဲဆုိေတာ႔ stress distribution အရၾကည္႔ရင္ Neutral axis ကေန အေပၚၿခမ္းက compression နဲ႔ ေအာက္ဘက္ၿခမး္က Tension အၿဖစ္တေၿဖးေၿဖးမ်ားသြားတယ္။ ဒီေတာ႔ အလယ္အသားေတြက မလုိအပ္ပဲ မ်ားေနတာေပါ႔။ အဲဒါေတြ လွီးထုတ္လုိက္မယ္ဆုိရင္ weight လဲေပါ႔မယ္၊ economical လဲ ၿဖစ္ပါတယ္။ အားေတြပိုမ်ားလာရင္ depth မ်ားတဲ႔ beam ကိုယူသံုးေပါ႔ေနာ္။ ဘာေၾကာင္႔လဲဆုိေတာ႔ အေပၚမွာ ရွင္းၿပခဲ႔ပါၿပီ။

Concrete က ပံုသြင္းရတာခက္လုိ႔ I,H section မလုပ္ပါ။ လုပ္ခ်င္ရင္လဲ လုပ္ၾကေပါ႔ေနာ္။ တံတားေတြမွာေတာ႔ Super T section ဆုိၿပီးေတာ႔ သံုးၾကတယ္။

ဒီ second area of moment or moment of inertia က In-plane အတြက္ စဥ္းစားတာၿဖစ္လုိ႔ x,y axis မွာသက္ေရာက္ေနတဲ႔ force ေတြအတြက္ စဥ္းစားတာၿဖစ္ပါတယ္။
Z axis လုိ out of plane ကလာတဲ႔ force ဆုိရင္ ဘယ္လုိလုပ္မလဲ။

(၄) Polar moment of inertia

ဒါကေတာ႔ z-axis ကလာတဲ႔ force ေတြအတြက္ သံုးပါတယ္။ ရွာရတာ မခက္ပါဘူး။ Ixx နဲ႔ Iyy ကိုေပါင္းေပးရံုပါပဲ။

ေနာက္ဆံုးအေနနဲ႔ ၿဖည္႔စြက္ေၿပာခ်င္တာက parallel axis theorem ၿဖစ္ပါတယ္။ အဲဒါက ဘာလဲဆုိေတာ႔ moment of inertia ကို သက္ဆုိင္ရာ structural element ရဲ႔ centroid ကေနမစဥ္းစားပဲ x or y parallel axis တစ္ခုကေန စဥ္းစားရမယ္ဆုိရင္ အသံုးၿပဳပါတယ္။

အဲဒါမ်ိဳးက axis ကိုမူတည္ၿပီးစဥ္းစားသလုိ geometrical shape နဲ႔ဆုိင္ပါတယ္။

Axis ဆုိတာ ၂ မ်ိဳးရွိတယ္။ Local axis နဲ႔ Global axis ၿဖစ္ပါတယ္။
Local axis အရ beam တစ္ေခ်ာင္းကို x,y,z တစ္မ်ိုးသတ္မွတ္ေပမယ္႔ Global axis မွာေတာ႔ အဲဒီ beam ဟာ local axis အတုိင္း ထားတဲ႔ x,y,z axis မွာ ရိွခ်င္မွရွိမွာပါ။ ဥပမာေၿပာရင္ plan ကေနၾကည္႔လုိ႔ beam ေတြဟာ Gloabal X and Y မွာ set-up လုပ္ထားတယ္။ horizontal axis မွာရွိတဲ႔ beam ေတြရဲ႔ length ကို x-axis လုိ႔ၿမင္ၾကမယ္ဆုိရင္ အဲဒီ beam ကို cross-section ၾကည္႔တဲ႔အခါ Y axis ဟာ width ၿဖစ္ေနၿပီး Z-axis ဟာ depth ၿဖစ္ေနပါလိမ္႔မယ္။

အဲဒါက Etabs လုိ ေဆာ႔ဝဲေတြသံုးရင္ သတိထားရပါတယ္။ Beam ေတြကို စဆြဲေတာ႔ centre-to-centre ဆြဲထားတယ္။ အဲဒါကို column face ေရာက္ေအာင္ ၿပန္ခ်ဳ႔ံတဲ႔အခါမွာ reference axis ကို နားလည္္မွ အဆင္ေၿပပါလိမ္႔မယ္။

ေၿပာခ်င္တာကေတာ႔ shear wall,lift core လုိမ်ိဳး individual member ေတြဟာ building centre of rigidity ကေန eccentricity ၿဖစ္ေနတဲ႔အခါ stiffness ကို parallel axis theorem သံုးၿပီး ရွာရပါမယ္။

ေနာက္တစ္ခု Geometrical Shape ဆုိတာက composite member လုိမ်ိဳး T ပံုစံ ၊ L ပုံစံေတြၿဖစ္ေနရင္ parallel axis theorem ကိုသံုးၿပီး moment of inertia ကိုရွာရမွာၿဖစ္ပါတယ္။

တြက္ပံုတြက္နည္းေတြကုိေတာ႔ သက္ဆုိင္ရာ Text Book ေတြမွာ ဖတ္ၾကည္႔ပါ။

ရွာရခက္ေနရင္လဲ ေအာက္မွာ Russell Hibbeler ေရးတဲ႔ Statics and Dynamics-12th edition ကို Textbook နဲ႔ အေၿဖစာအုပ္ပါ တြဲၿပီး လင္႔ေရးထားပါတယ္။ ေလ႔လာၾကည္႔ၾကပါ။

ဗီဒီယုိဖုိင္နဲ႔ ေလ႔လာခ်င္ၾကရင္ ေဒါက္တာ ရီဟန္ဝမ္ရဲ႔ Mechanics of Materials လက္ခ်ာစီးရီးအတြဲလုိက္ကို youtube မွာၾကည္႔ႏုိင္ပါတယ္။ လင္႔လဲ ေပးထားပါတယ္။
အဂၤလိပ္စာလဲ ေလ႔လာၿပီးသားၿဖစ္တာေပါ႔။

ေဒါင္းခ်င္ရင္ေတာ႔ address bar ကိုသြား www.youtube....... မွာ www.ssyoutube.... ဆုိၿပီး ရိုက္ၿပီး enter ေခါက္ရင္ ေနာက္ေပ႔ကိုေရာက္မယ္။ အဲဒီမွာ ေဒါင္းရံုပါပဲ။ နားနားၿပီးေဒါင္းပါ။ တစ္ခါေဒါင္းရင္ ၅ ဖုိင္ထက္ပိုရင္ သူက လင္႔ကို ခဏပိတ္တတ္ပါတယ္။

အၿခားဆရာေတြရဲ႔ လက္ခ်ာဗီဒီယိုဖုိင္ေတြကိုလည္း လင္႔ရွာေပးထားပါတယ္။
အဆင္ေၿပၾကပါေစ။

ေမတၱာၿဖင္႔
သူရ

Mechanics of Materials: Statics and Dynamics by Russell Hibbeler
https://drive.google.com/open?id=0BzLc9i_t0Z8WaWJlZWZSTW04cGM

Solution Manual-Mechanics of Materials: Statics and Dynamics by Russell Hibbeler
https://drive.google.com/open?id=0BzLc9i_t0Z8WUE0yVTVwNTZNcHM

Mechanics of Material lecture videos by Dr.Yifeng Wang
https://www.youtube.com/watch?v=eFB2l8XErP4&list=PLLbvVfERDon1pceRKOjAxiqFTEvghmZKh&index=32

Mechanics of Materials Lecture videos
https://www.youtube.com/watch?v=TjISqHs2eDQ&index=1&list=PLPmZdvqdyoV_-rYWb68bm_ZLF0MbQJVyy

https://www.youtube.com/watch?v=-NwrrjXlokU&t=17s
https://www.youtube.com/watch?v=W9fPGXyvrVM